如图所示是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下

Question

如图所示是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底，夯杆不反弹，设夯杆与坑底的接触时间为t=1.0s，然后两个滚轮再次压紧，将夯杆提上来，如此周而复始．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4.0m/s，每个滚轮对夯杆的正压力均为F=2.0×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.30，夯杆质量m=1.0×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度不变，g=10m/s²，求：
（1）从夯杆开始向上运动到刚开始匀速运动，夯杆上升的高度H是多少？
（2）每个打夯周期（从夯杆刚离开坑底到下一次夯杆刚离开坑底的时间）中，电动机对夯杆做的功W；
（3）打夯周期T．

Answer 1

（1）对夯杆由牛顿第二定律得：
2μF-mg=ma，解得：a=2m/s²，
当夯杆速度增加到4m/s时，
夯杆上升的高度为：H=(v2)/(2a)，
解得：H=4m；
（2）电动机对夯杆所做的功等于夯杆增加的机械能，
W=E_P+E_K=mgh+(1)/(2)mv²=1.0×10³×10×6.4+(1)/(2)×1.0×10³×4²=7.2×10⁴J；
（3）夯杆从开始运动到落回原处共经历四个运动过程：
向上匀加速运动、向上匀速运动、向上竖直上抛运动，向下自由落体运动．
匀加速运动的时间t₁=(v)/(a)=(4m/s)/(2m/s2)=2s，
匀速运动的时间t₂=(h−H)/(v)=(6.4m−4m)/(4m/s)=0.6s，
竖直上抛上升过程的运动时间t₃=(v)/(g)=(4m/s)/(10m/s2)=0.4s，
竖直上抛的位移h′=(v2)/(2g)=(42)/(2×10)=0.8m，
自由落体运动：h+h′=(1)/(2)gt₄²，
t₄=√((2(h+h′))/(g))=√((2×(6.4+0.8))/(10))=1.2s，
打夯周期T=t₁+t₂+t₃+t₄+t=5.2s；
答：（1）从夯杆开始向上运动到刚开始匀速运动，夯杆上升的高度H是4m．
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功为7.2×10⁴J．
（3）打夯周期为5.2s．