如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用

Question

如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始（夯杆被滚轮提升过程中，经历匀加速和匀速运动过程）．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，取g=10m/s²．求：
（1）夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，加速度的大小；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量．

Answer 1

（1）由牛顿第二定律可知2μF_N-mg=ma
a=(2μFN −mg)/(m)＝(2×0.3×20000−1000×10)/(1000)m/s2=2m/s²
（2）夯杆加速上升的高度 h1＝(v2)/(2a)
在加速上升阶段，电动机对夯杆做的功   W₁=2μF_Nh₁=4.8×10⁴J 
夯杆匀速上升阶段上升高度   h₂=h-h₁=2.4m  
电动机对夯杆做的功   W₂=mgh₂=2.4×10⁴J  
每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功  W=W₁+W₂=7.2×10⁴J 
（3）夯杆加速上升的时间 t1＝(v)/(a)
滚轮边缘转过的距离是 s=vt₁=8m  
相对夯杆的位移是  L=8m-4m=4m   
摩擦产生的热量  Q=2μF_NL       
Q=4.8×10⁴J  
答：（1）产生的加速度为2m/s²
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功为7.2×10⁴J；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×10⁴J．