已知椭圆C:y^/a^+x^/b^=1(a>b>1)的右顶点为A(1,0)过C1的焦点且垂直长轴的玄长为1,求椭圆C1的方程.

Question

已知椭圆C:y^/a^+x^/b^=1(a>b>1)的右顶点为A(1,0)过C1的焦点且垂直长轴的玄长为1,求椭圆C1的方程.

Answer 1

设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t^2+h)
则抛物线C2在点P处的切线斜率为 y'=2t
直线MN的方程为：
y=-t^2+2tx+h
将上式代入椭圆C1的方程中,得
4x^2+(2tx-t^2+h)^2=4
化简：
4（1+t^2)x^2-4t(t^2-h)x+(t^2-h)^2=4 ①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,
所以①式中的
△>0
16[-t^4+2(h+2)t^2-h^2+4]>0 ②
设线段MN的中点的横坐标是x3 ,则
x3=(x1+x2）/2=t(t^2-h)/2(1+t^2)
设线段PA的中点的横坐标是x4 ,则
x4=(t+1)/2
由题意,得
x3=x4
即：
t^2+(1+h)t+1=0
△>0 解不等式得：
h>=1 或 k>=-3
当h<=-3时,
h+2<0 , 4-h^2<0
则不等式②不成立,
所以 h>=1
当h=1时 ,代入方程③得：
t=-1
将 h=1, t=-1 代入不等式②,检验成立.希望对您有所帮助