问一道奥数不等式题设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>=4abc

Question

问一道奥数不等式题
设a、b、c、x、y、z>=0,且x+y+z=a+b+c
求证：ax^2+by^2+cz^2+xyz>=4abc

Answer 1

由x+y+z=a+b+c这个条件,不妨设a=(x+y)/2,b=(y+z)/2,c=(z+x)/2,这样就能化简掉条件.代入可得原不等式等价于:
[(x+y)x^2]/2+[(y+z)y^2]/2+[(z+x)z^2]/2+xyz>=(x+y)(y+z)(z+x)/2
x^3+y^3+z^3+(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz>=(x+y)(y+z)(z+x)
x^3+y^3+z^3+(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz>=(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2)+2xyz
x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2
由对称性不妨设z=max{x,y,z}
且由x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),由均值不等式x^2+y^2>=2xy
所以x^3+y^3>=xy(x+y)=x^2y+xy^2
则x^3+y^3+z^3-(xy^2+yz^2+zx^2)>=x^2y+xy^2+z^3-xy^2-yz^2-zx^2=z^3+x^2y-yz^2-zx^2=z(z^2-x^2)+y(x^2-z^2)=(z+x)(z-x)(z-y)>=0
于是x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2成立
原不等式得证.