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已知正实数abcd满足ab+cd=12(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例
题目详情
已知正实数a b c d 满足ab+cd=1
2(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例
2(a^2+b^2+c^2+d^2)≤(a^2+b^2)/ab+(c^2+d^2)/cd是否成立,如果是请证明,如果不是,举出反例
▼优质解答
答案和解析
将等式右边乘以(ab+cd)其值不变,变化原不等式为
a^2+b^2+c^2+d^2 ≤(a^2+b^2)*cd/ab+(c^2+d^2)*ab/cd
将不等式左边移到右边,提取公因式,可以有
0 ≤ ( (a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd ) * (cd-ab)
假定ab>cd,观察(a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd (1)是否恒大于0(显然不是)
式一的正负主要取决于a/b与c/d的比值大小,而ab+cd=1是限定不了的(即便ab>cd,a/b也不一定大于c/d)
故此,原不等式不会恒成立,反之亦然.
验证此不等式,可以取a=1/4,b=1,c=3/4,d=1,左边=21/4,右边=19/3,成立
取a=1/2,b=1/2,c=3/4,d=1,左边=49/8,右边=49/12,不成立
a^2+b^2+c^2+d^2 ≤(a^2+b^2)*cd/ab+(c^2+d^2)*ab/cd
将不等式左边移到右边,提取公因式,可以有
0 ≤ ( (a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd ) * (cd-ab)
假定ab>cd,观察(a^2+b^2)/ab - (c^2+d^2)/cd (1)是否恒大于0(显然不是)
式一的正负主要取决于a/b与c/d的比值大小,而ab+cd=1是限定不了的(即便ab>cd,a/b也不一定大于c/d)
故此,原不等式不会恒成立,反之亦然.
验证此不等式,可以取a=1/4,b=1,c=3/4,d=1,左边=21/4,右边=19/3,成立
取a=1/2,b=1/2,c=3/4,d=1,左边=49/8,右边=49/12,不成立
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