已知方程a^2x^2-ax+1-7a^2=0有整数根,则实数a的值为?有过程就更好了

Question

已知方程a^2x^2-ax+1-7a^2=0有整数根,则实数a的值为?
有过程就更好了

Answer 1

首先,因为a=0时,方程不成立.故a≠0
因其两根均为整数,故其两根之和必为整数
即a/a^2=1/a为整数
显然,因a为整数,故a只可能为1.-1
将a=1代入原方程检验,得x^2-x-6=0,x1=3,x2=-2,满足条件
a=-1代入得:x^2+x-6=0,x1=-3,x2=2,符合.
故综上所述,所有正整数a的值为1或-1
对于ax^2+bx+c=0两根均为整数的题目
一般首先考虑a=0的情况
而当a不为0时,一般从三个必要条件考虑:
(1) 最基本的条件是方程有根,即△≥0
(2) 两根为整数,则两根之和-b/a也为整数,两根之积c/a也为整数.
(3) 对于有理系数方程,其根为整数,必然对其判别式开方可以开尽.即存在有理数P,使得P^2=△
解出条件后,一定要回代检验