如图，△ABC的两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．求证：∠P=90°-12∠B．

Question

如图，△ABC的两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．求证：∠P=90°-(1)/(2)∠B．

Answer 1

由三角形的外角性质，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∵PA、PC分别是∠DAC和∠ACE的角平分线，
∴∠PAC=(1)/(2)∠DAC=(1)/(2)（∠B+∠ACB），
∠PCA=(1)/(2)∠ACE=(1)/(2)（∠B+∠BAC），
在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠P+(1)/(2)（∠B+∠ACB）+(1)/(2)（∠B+∠BAC）=180°，
∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，
在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，
∴2∠P+∠B=180°，
∴∠P=90°-(1)/(2)∠B．