若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在f（x）的图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点

Question

若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在f（x）的图象上；
（2）点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=

x2+2x(x<0)

(2)/(ex)(x≥0)

，则f（x）的“姊妹点对”有___个．

Answer 1

设P（x，y） （x<0），则点P关于原点的对称点为P′（-x，-y），
于是(2)/(e-x)=-（x²+2x），化为2e^x+x²+2x=0，
令φ（x）=2e^x+x²+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．
由x²+2x≤0，解得-2≤x≤0，而(2)/(ex)>0（x≥0），∴只要考虑x∈[-2，0]即可．
求导φ′（x）=2e^x+2x+2，
令g（x）=2e^x+2x+2，则g′（x）=2e^x+2>0，
∴φ′（x）在区间[-2，0]上单调递增，
而φ′（-2）=2e^-2-4+2<0，φ′（-1）=2e^-1>0，
∴φ（x）在区间（-2，0）上只存在一个极值点x₀．
而φ（-2）=2e^-2>0，φ（-1）=2e^-1-1<0，φ（0）=2>0，
∴函数φ（x）在区间（-2，-1），（-1，0）分别各有一个零点．
也就是说f（x）的“姊妹点对”有2个．
故答案为：2．