点集拓扑的一个问题设U为拓扑空间X的开集,F为X的一个紧致闭集族,F的所有集合之交包含于U,证明：存在F中的有限个集合A1,A2,...,An,他们的交包含于U.

Question

点集拓扑的一个问题
设 U 为拓扑空间 X 的开集,F 为 X 的一个紧致闭集族,F 的所有集合之交包含于 U ,证明：存在 F 中的有限个集合 A1,A2,...,An,他们的交包含于 U.

Answer 1

任取A∈F,记G=F\{A}.由条件,
A∩(∩{B|B∈G})=∩{B|B∈F}⊆U.
两边同时取与(∩{B|B∈G})^c=∪{B^c|B∈G})（^c表示余集）的并集,得
[A∩(∩{B|B∈G})]∪[(∩{B|B∈G})^c]⊆U∪(∪{B^c|B∈G}).
对左边用分配律,得左边
=[A∪[(∩{B|B∈G})^c]]∩[(∩{B|B∈G})∪[(∩{B|B∈G})^c]]
=[A∪[(∩{B|B∈G})^c]]∩X
=A∪[(∩{B|B∈G})^c].
所以
A⊆A∪[(∩{B|B∈G})^c]=左边⊆右边=U∪(∪{B^c|B∈G}).
A是一个紧致集,而右边是一组开集的并（每个B是闭集,所以B^c是开集）.所以由紧致集的定义,此开覆盖有有限子覆盖 ,即存在有限多个Bi,1