一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32b时，计算油的质量．（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为ρkg/m3）

Question

一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为(3)/(2)b时，计算油的质量．（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为ρkg/m³）

Answer 1

建立如图所示的直角坐标系，长轴在x轴上，短轴在y轴上，且长轴和短轴的中心在原点，
则油罐底面椭圆方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1
S₁表示椭圆在直线y＝−(1)/(2)b以下的面积；S₂表示椭圆在直线y＝−(b)/(2)以上的面积
则S₁=

∫	−(b)/(2) −b

[a√(1−(y2)/(b2))−(−a√(1−(y2)/(b2)))]dy＝(2a)/(b)

∫	−(b)/(2) −b

√(b2−y2)dy

令y＝bsint

.

(2a)/(b)∫

−(π)/(6) −(π)/(2)

bcost•bcostdt＝2ab

∫

−(π)/(6)

−

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