设有一直径为20m的半球形水池,池内贮满水,若要把水抽尽,问至少需做多少的功．已知水密度为ρ,重力加速度为g..

Question

设有一直径为20m的半球形水池,池内贮满水,若要把水抽尽,问至少需做多少的功．
已知水密度为ρ,重力加速度为g ..

Answer 1

设t时刻池中的水位为y,水位截面半径为sqrt(100-(10-y)^2)=sqrt(20*y-y^2),在t+dt时刻,池中的水位为y+dy
在dt时间内,抽掉水的体积为-pi*(20*y-y^2)*dy,所作的功为mgh=-1000*pi*(20*y-y^2)*dy*9.8*(10-y)
而y的初值为10,终值为0
于是,全部所做的功为-1000*pi*(20*y-y^2)*dy*9.8*(10-y)在10到0上的定积分