已知方程组（Ⅰ）a11x1+a12x2+…+a1，2nx2n＝0a21x1+a22x2+…+a2，2nx2n＝0•••an1x1+an2x2+…+an，2nx2n＝0的一个基础解析为（b11，b12，…，b1，2n）T，（b21，b22，…，b2，

Question

已知方程组
（Ⅰ）

a11x1+a12x2+…+a1，2nx2n＝0

a21x1+a22x2+…+a2，2nx2n＝0

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an1x1+an2x2+…+an，2nx2n＝0

的一个基础解析为（b₁₁，b₁₂，…，b_1，2n）^T，（b₂₁，b₂₂，…，b_2，2n）^T，…（b_n1，b_n2，…，b_n，2n）^T．试写出线性方程组
（Ⅱ）

b11y1+b12y2+…+b1，2ny2n＝0

b21y1+b22y2+…+b2，2ny2n＝0

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bn1y1+bn2y2+…+bn，2ny2n＝0

的通解，并说明理由．

Answer 1

设方程组（I）、（II）的系数矩阵分别为A、B，
则由题设可得：
BA^T=（AB^T）^T=0，
可见A的n个行向量的转置为（II）的n个解向量，
由于B的秩为n，故（II）的解空间维数为：2n-r（B）=2n-n=n．
又因为B的n个行向量的转置为（I）的一个基础解系，
所以：r（A）=2n-n=n．
从而A的n个行向量线性无关，
于是它的n个行向量的转置即为（II）的基础解系，
所以（II）的通解为：
y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T+c2(a21，a22，…，a2，2n)T+…+cn(an1，an2，…，an，2n)T，
其中，c₁，c₂，…，c_n为任意常数．