线性代数的一个小问题A为4阶矩阵,r（A）=3所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关解向量.这句话怎么理解啊?

Question

线性代数的一个小问题
A为4阶矩阵,r（A）=3 所以方程组AX=0的基础解系含有 一个线性无关解向量.这句话怎么理解啊?

Answer 1

其实根据常识,就是说一个方程决定一个未知数.
所谓的秩,可以理解为有效方程的个数,就是说不成比例,独立的方程个数.
比如,x1+x2+3x3=0,2x1+2x2+6x3=0 虽然有两个方程,但是有效的只有1个.
那么A为4阶方阵,就有四个未知数,r（A）=3 ,相当于有3个独立方程,所以方程组AX=0还有1个未知数是不能被确定的,称为自由分量,每给这个自由分量赋予一个定值,就能确定出一组方程的解.
假设r（A）=2,相当于只有2个独立方程,那么就有两个未知数是自由变量,自由变量的个数,就是线性无关解向量的个数.你可以通过方程组通解的形式和线性无关的定义去理解这个含义.