设M是C[a,b]中的有界集,求证集合{F(x)=∫[a,x]f(t)dt|f∈M}是列紧集．

Question

设M是C[a,b]中的有界集,求证集合{F(x) =∫[a,x] f(t) dt | f ∈M }是列紧集．

Answer 1

先证明A是一致有界的和等度连续的． ∀F ∈A,存在f ∈M,使得F(x) =∫[a,x] f(t) dt． 由于ρ(F,0) = max x ∈[a,b] | F(x) | = max x ∈[a,b] | ∫[a,x] f(t) dt | ≤ max x ∈[a,b] | f(t) | · (b − a ) = ρ( f,0) · (b − a ) ≤ K (b − a )． 故A是一致有界的． ∀ε > 0,∀s,t∈[a,b],当| s − t | < ε/K时,∀F ∈A,存在f ∈M,使得F(x) =∫[a,x] f(u) du． | F(s) − F(t) | = | ∫[s,t] f(u) du | ≤ max u ∈[a,b] | f(u) | · | s − t | = ρ( f,0) · | s − t | ≤ K · (ε/K) = ε． 故A是等度连续的． 由Arzela-Ascoli定理,A是列紧集