九章算术.,暑假数学作业「"盈不足"二」今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺,葡生日自半,莞生日自倍,问几何日而长等?翻译即解题具体答案拜托啊

Question

九章算术 ., 暑假数学作业「 "盈不足" 二」 今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺,葡生日自半,莞生日自倍,问几何日而长等 ? 翻译即解题具体答案 拜托啊

Answer 1

九章算术第七卷上的题目。原文有 今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问几何日而长等？答曰：二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。 〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸；莞生二日，长三尺；是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈不足乘除之。又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日定长，即得其数。〕 题目其实很简单，可能只是不好读懂。 蒲和莞从第1天刚开始从0尺开始生长。 第1天蒲增长了3尺长，莞增长1尺长。 蒲每天长度增加前一天增长数的一半，而莞每天增加前一天增长数的二倍。 即蒲每天增长速度为（从第n天初到第n天末的速度）3，1.5，0.75，0.325……尺/天；莞每天增长数为1，2，4，8……尺/天。这里在一天之内增长速度不变。 求第几天长度相等。 解法是： 到第2天末，蒲长为3 + 1.5 = 4.5，莞长为1 + 2 = 3，4.5 > 3，不足4.5 - 3 = 1.5尺； 到第3天末，蒲长为4.5 + 0.75 = 5.25，莞长为3 + 4 = 7，5.25 < 7，有余7 - 5.25 = 1.75尺。 于是知道是在第三天初到第三天末之间生长到同一长度的，这期间它们生长速度分别为0.75尺/天，4尺/天。 于是用它们长度的差除以速度的差得到追齐的时间： 1.5 / (4 - 0.75) = 6/13 天 或 1.75 / (4 - 0.75) = 7/13 天 于是所用总时间为 2 + 6/13 天 也就等于 3 - 7/13 天。