激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目．其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．

Question

激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目．其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．其工作过程可以简化为如下情景：如图所示，左侧倾角α=30°的轨道AB（其长L₁=30m）上相互间隔安装着主动轮，主动轮与游船间的动摩擦因数u₁=(√(3))/(2)；右侧倾角β=53°的轨道CD（其长L₂=20m）上相互间隔安装着导向轮（不会提供动力），导向轮与游船间的动摩擦因数均为u₂=(41)/(72)；左右两侧轨道通过一段平滑轨道BC（其长L₃=3m）相连，两相邻主动轮（或导向轮）间的距离s₀=1m．长为L₀=2m的游船上坐着两个游客，总质量为180kg，从左侧轨道如图所示的位置由静止开始被主动轮带动向上运动（主动轮的半径r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），达恒定的速率后，一直以此速率运动到游船尾部刚好与右侧轨道的上端C点平齐的位置，之后在导向轮上向下滑动．已知g=10m/s²，sin 53°=0.8，cos53°=0.6．求：

（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比．

Answer 1

（1）游船向上加速的过程中设加速度为a₁，由牛顿第二定律得：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入数据得：a₁=2.5m/s²
从静止至游船的速度与主动轮的速度相等的时间t₁，向上的位移为x₁，由运动学的公式有：v=a₁t₁
主动轮的线速度：v=rω=0.2×10=2m/s
联立得：t₁=0.8s
又：x1=(v)/(2)•t1=(2)/(2)×0.8=0.8m
游船向上匀速直线运动位移：x₂=L₁+L₃-x₁=30+3-0.8=32.2m
匀速运动的时间：t2=(x2)/(v)=(32.2)/(2)=16.1s
游船在右侧的轨道上做匀加速直线运动，设加速度为a2，由牛顿第二定律得：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入数据得：a2=(55)/(12)m/s2
设加速的时间为t3，游船在右侧的轨道是发生的位移：L2-L0=vt3+(1)/(2)a2

t

2 3

代入数据，联立得：t₃=2.4s
所以总时间：t=t₁+t₂+t₃=0.8s+16.1s+2.4s=19.3s
（2）游船到达恒定的速率前，动力装置增加的功率为：P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）•v
游船到达恒定的速率后动力装置提供的功率为：P₂=f₂v=mgsinα•v
所以动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比为：
(P1)/(P2)=(μ1cosα)/(sinα)=((√(3))/(2)×cos30°)/(sin30°)=(3)/(2)
答：（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间是19.3s；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比是(3)/(2)．