设D是由曲线y=f(x)与直线y=0,y=3围城的区域,其中f(x)={x^2,x≤2,6-x,x>2,求D绕y轴旋转形成的旋转体积?

Question

设D是由曲线y=f(x)与直线y=0,y=3围城的区域,其中f(x)={x^2,x≤2,6-x,x>2,求D绕y轴旋转形成的旋转体积?

Answer 1

设g(x)={x^2,x≤√3;3,√33}
那么D就是g(x)与y=0所围成区域
将x轴切分为小段,每一段为dx,那么D被分为无限个矩形,矩形的宽为dx,高为g(x)
每一个矩形绕y轴旋转一周,形成空心圆柱体
内径为x,外径为(x+dx),高为g(x)
所以,空心圆柱体的体积为dV=π((x+dx)^2-x^2)g(x)=π(2xdx+dx^2)g(x)
因为dx->0时,dx^2是dx的高阶无穷小
那么dV=π(2xdx+dx^2)g(x)=π(2xdx)g(x)=2πxg(x)dx
V=∫dV=∫(0,6)2πxg(x)dx
=∫(0,√3)2πx^3dx+∫(√3,3)6πxdx+∫(3,6)2πx(6-x)dx
=9π/2+18π+36π
=58.5π