袋中有11个相同的球,小明每次从袋里至少拿一个球出来,拿完为止,共有多少种拿法?

Question

袋中有11个相同的球,小明每次从袋里至少拿一个球出来,拿完为止,共有多少种拿法?

Answer 1

这是一道排列组合题.
按题目要求,每次至少拿一个球,那么可以分别考虑1次拿完,2次拿完……直到11次拿完的情形,然后加总即可.
考虑到 11=1+1+……+1
故可以此算式建立一个数学模型：
1至11次分别拿完的情形,分别对应：将0个、1个、2个直到10个“+”号放置在11个1中间一共10个空位中.【请注意,这是一个非常巧妙的模型.】
那么就可以得到分别从1次到11次拿完的拿法：
1次拿完：C(10,0)=1
2次拿完：C(10,1)=10
3次拿完：C(10,2)=10*9/2=45
……
11次拿完：C(10,10)=1
根据公式=C(n,0)+C(n,1)+……C(n,n)=2^n
所以全部拿法=C(10,0)+C(10,1)+……C(10,10)=2^10=1024