比较∫(0到1)x/(x+1)dx与∫(0到1)ln(1+x)dx的大小各位大大们啊帮帮忙很急的饿

Question

比较∫(0到1)x/(x+1)dx与∫(0到1)ln(1+x)dx的大小
各位大大们啊 帮帮忙 很急的饿

Answer 1

本题就是比较在(0,1)内x/(x+1)与ln(1+x)的大小
令f(x)=(x+1)ln(x+1)-x,则f(0)=0
f '(x)=ln(x+1)+1-1=ln(1+x)>0 x∈(0,1)
则,f(x)在[0,1]内单增,又f(0)=0,因此f(x)>f(0)=0
这样证明了,(x+1)ln(x+1)-x>0,x∈(0,1)
即 ln(x+1)>x/(x+1),因此∫(0到1)ln(1+x)dx>∫(0到1)x/(x+1)dx