笛卡儿叶形线的面积问题方程为x^3+y^3=2axy(a>0)要求用第二类曲线积分的方法求该曲线所围的面积.如果用x=rcosθ,y=rsinθ去算，过程好象很繁。

Question

笛卡儿叶形线的面积问题
方程为x^3+y^3=2axy(a>0)
要求用第二类曲线积分的方法求该曲线所围的面积.
如果用x=rcosθ,y=rsinθ去算，过程好象很繁。

Answer 1

设x=rcosθ ,y=rsinθ
则 (rcosθ）^3+(rsinθ)^3=2ar^2cosθ sinθ
r=2acosθsinθ/(cosθ ^3+ sinθ^3)
当θ∈{0，π/2}时，r≥0,且当θ=0及θ=π/2时,r=0
所以θ=0到θ=π/2叶形线位于第一象限部分所围的面积，即为所求面积
S=0.5*∫(0,π/2){4*a*r^(sinθ)^2(cosθ)^2}/{(sinθ)^3+(cosθ)^3}^2
tgθ=t ,S=2a^2∫(0,+∞)t^2dt/{(1+t^3}^2
=2a^2lim -1/ {3(1+t^3) }(0,t) =2a^2/3
t→+∞