已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD

Question

已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合） （1）如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD

Answer 1

（1）如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由；
（2）在（1）中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由；
（3）如图③,分别在AD、BC上取点F、C′,使得∠APF=∠BPC′,与（1）中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′,连接FC′,取FC′的中点H,连接GH、EH,试问（2）中的结论还成立吗?请说明理由．（1）FG∥CE,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,由题意得
∠G=∠A=90°,∠PEC=∠B=90°
∴∠GEC=90°
∴∠G=∠GEC
∴FG∥CE．
（2）GH=EH．
延长GH交CE于点M,由（1）得,FG∥CE
∴∠GFH=∠MCH
∵H为CF的中点
∴FH=CH
又∵∠GHF=∠MHC
∴△GFH≌△MHC
∴GH=HM= 12GM,
∵∠GEC=90°
∴EH= 12GM
∴GH=EH．
（3）（2）中的结论还成立．
取PF的中点M,PC'的中点N
∵∠FGP=90°,M为PF的中点
∴ GM=12PF,PM=12PF,HM∥PC'
∴GM=PM
∴∠GPF=∠MGP
∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF
∵H为FC'的中点,M为PF的中点
∴ HM=12PC′
同理 HN=12PF,EN=12PC′,HN∥PF,∠ENC'=2∠EPC'
∴GM=HN,HM=EN
∵∠GPF=∠FPA,∠EPC'=∠BPC'
又∵∠BPC'=∠FPA
∴∠GPF=∠EPC'
∴∠GMF=∠ENC',
∵HM∥PC',HN∥PF
∴四边形HMPN为平行四边形
∴∠HMF=∠HNC'
∴∠GMH=∠HNE
∵GM=HN,HM=EN
∴△GMH≌△HNE
∴GH=HE．