二次函数y=x2+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方（组成一个“W”形状的新图象），若直线y=12x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Question

二次函数y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方（组成一个“W”形状的新图象），若直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Answer 1

∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴抛物线y=x²+2x的顶点坐标为（-1，-1），
当y=0时，x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，则抛物线y=x²+2x与x轴的交点为（-2，0），（0，0），
把抛物线y=x²+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），
如图，

把直线y=(1)/(2)x向上平移，当平移后的直线y=(1)/(2)x+b过点A时，直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，所以(1)/(2)×（-2）+b=0，解得b=1；
当直线y=(1)/(2)x+b与抛物线y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切时，直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，即-（x+1）²+1=(1)/(2)x+b有相等的实数解，整理得x²+(5)/(2)x+b=0，△=（(5)/(2)）²-4b=0，解得b=(25)/(16)，
所以b的值为1或(25)/(16)．