已知多项式x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数并且bd+cd是奇数,证明：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积

Question

已知多项式x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数并且bd+cd是奇数,证明：这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积

Answer 1

假设x^3+bx^2+cx+d能分解为两个整系数多项式的乘积
则x^3+bx^2+cx+d=(x^2+ax+e)(x+f)=x^3+(a+f)x^2+(af+e)x+fe
其中f,e必为奇数(bd+cd是奇数=>d,b+c是奇数)
若a是奇数=>a+f,af+e是偶数=>b+c是偶数=>矛盾
若a是偶数=>a+f,af+e是奇数=>b+c是偶数=>矛盾(a=0也不行)
=>a数不存在=>
x^3+bx^2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积