操作发现在计算器上输入一个正数，不断地按“()”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．提出问题输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运

Question

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“√(( ))”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x₁，先在直线y=kx+b上确定点（x₁，y₁），再在直线y=x上确定纵坐标为y₁的点（x₂，y₁），然后再x轴上确定对应的数x₂，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x₁时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=-4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k>1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=-(2)/(3)，b=2，已在x轴上表示出x₁（如图2所示），请在x轴上表示x₂，x₃，x₄，并写出研究结论；
②若输入实数x₁时，运算结果x_n互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

Answer 1

（1）若k=2，b=-4，y=2x-4，
取x₁=3，则x₂=2，x₃=0，x₄=-4，…
取x₁=4，则x₂x₃=x₄=4，…
取x₁=5，则x₂=6，x₃=8，x₄=12，…由此发现：
当x₁<4时，随着运算次数n的增加，运算结果x_n越来越小．
当x₁=4时，随着运算次数n的增加，运算结果x_n的值保持不变，都等于4．
当x₁>4时，随着运算次数n的增加，运算结果x_n越来越大．
（2）当x₁>(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n越来越大．
当x₁<(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n越来越小．
当x₁=(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n保持不变．
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（(b)/(1-k)，(b)/(1-k)），
当x₁>(b)/(1-k)时，对于同一个x的值，kx+b>x，
∴y₁>x₁
∵y₁=x₂，
∴x₁<x₂，同理x₂<x₃<…<x_n，
∴当x₁>(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n越来越大．
同理，当x₁<(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n越来越小．
当x₁=(b)/(1-k)时，随着运算次数n的增加，x_n保持不变．
（3）①在数轴上表示的x₁，x₂，x₃如图2所示．
随着运算次数的增加，运算结果越来越接近(6)/(5)．
②由（2）可知：-1<k<1且k≠0，
由

y=x

y=kx+b

消去y得到x=(b)/(1-k)
∴由①探究可知：m=(b)/(1-k)．