问这4块砝码碎片各重多少?一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

Question

问这4块砝码碎片各重多少?
一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

Answer 1

让我们研究一下,碎块不只4个,而是k个的情况.把这些榭槭实钡胤址旁诹礁鎏炱脚躺希?磅、2磅、3磅…n磅,测量出所有的整磅数.这时若再有一个新的碎块,使之成为第k＋1个砝码,令这个砝码的质量能超过原有碎块（砝码）的总和n,超过量为1个单位量,即：p－n=n＋ 1,也就是说,p=2n＋ 1磅.这样就可测量出由 1磅、2磅…一直到 3n＋ 1磅（p＋ n=2n＋1＋n＝3n＋1）的物品.
具体地说,若砝码只有一个,其质量为一磅,那它只能测量1磅的物品.若为两个砝码,除1磅外,另一个为3磅,则可测量1、2、3、4磅.因为测量2磅时,可在左右两盘上分别放上1磅及3磅的砝码,其差值就是2磅,把待测物放在1磅砝码的盘上,使天平平衡,即可测出.
若砝码为3个时,新砝码应为9磅（p3＝2（n1＋n2）＋1=2（1＋3）＋1=9）.这样就可测出1至9磅整磅数的物品.例如测量5磅时,砝码盘可放9磅的,称量盘可放1磅和3磅的；测量6磅时,可一边放3磅,另边放9磅的砝码…这样,一直可以测量出13磅.
4个砝码除 1、3、9外,应为27磅（P4＝2（n1＋n2＋n3）+1=2（1＋3＋9）＋1=27）.这样,从 1磅一直可测到40磅.