如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小

Question

如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（　　）

A．(√(30))/(5)
B．(√(30))/(10)
C．(4√(3))/(9)
D．(5√(3))/(9)

Answer 1

∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，
∴BC=20cm，
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=(PP′)/(AP′)，
设BP′=x，则CP′=20-x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=(√(3))/(3)（20-x），
在直角△ABP′中，AP′=√(225+x2)，
∴tanθ=(√(3))/(3)•(20−x)/(√(225+x2))，
令y=(20−x)/(√(225+x2))，则函数在x∈[0，20]单调递减，
∴x=0时，取得最大值为(20√(3))/(45)=(4√(3))/(9)，
若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=(√(3))/(3)（20+x），
在直角△ABP′中，AP′=√(225+x2)，
∴tanθ=(√(3))/(3)•(20+x)/(√(225+x2))，
令y=((20+x)2)/(225+x2)，则y′=0可得x=(45)/(4)时，函数取得最大值(5√(3))/(9)，
则tanθ的最大值是(5√(3))/(9)．