大炮在山脚直接对着倾角为α的山坡发射导弹,炮弹初速度为v,要在山坡上尽可能远的射程,则大炮的瞄准角为多少?最远射程为多少?（用α,

Question

大炮在山脚直接对着倾角为α的山坡发射导弹,炮弹初速度为v,要在山坡上尽可能远的射程,则大炮的瞄准角为多少?最远射程为多少?（用α,

Answer 1

设大炮的瞄准角（与水平线的夹角）为 A,显然 A 应为锐角 且大于 α.
另外必须设大炮就摆在山坡角下,否则已知条件不足.
炮弹向上的初速度 v*sinA,水平方向速度 v*cosA
设经历 T 时间 炮弹落到山坡上,且此时山坡竖直方向的高度为 H.
H = tgα * (v * cosA * T)
同时
H = v*sinA*T-1/2 *g*T^2
把两个 H 的式子联合.
1/2 * g * T^2 + (tgα * v * cosA - v *sinA)*T=0
T=(sinA -cosA*tgα) * v * 2/g = (tgA-tgα)*cosA*v*2/g
（注意：90度>A>α,sinA -cosA*tgα > 0）
炮弹射程 = 水平移动距离/cosα
水平移动距离 =v*cosA*T
=(sinA -cosA*tgα)* cosA * v^2 * 2/g
= [sinA*cosA-(cosA)^2 * tgα] * 2* v^2/g
对于 其中的 sinA*cosA-(cosA)^2 * tgα
=1/2 * [sin2A - (1+cos2A) * tgα]
=1/2 * [sin2A - cos2A * tgα] - 1/2 * tgα
对于其中的 sin2A - cos2A * tgα,设 tgα = p,(1+p^2)^1/2=q
sin2A - cos2A * tgα
= q*(1/q * sin2A - p/q * cos2A)
= q*sin(2A-B)
这里 cosB=1/q=1/(1+tgα ^2)^1/2
当 2A-B=∏/2 时,炮弹射程取最大值.
即 A = [∏/2+ arc cos1/(1+tgα ^2)^1/2]/2 时取最大值.
例如 α =45 度,tgα = 1,B=60度,A=75度
关于 最大射程,你自己推下去吧,数学上太麻烦.上面这些我已耗费过多时间了.