x/√(x²+1)在-∞到+∞上的积分为什么不能由奇函数得出为0的结论呢?或者原式=d(√(x²+1)来解呢?在x/√(x²+1)的-∞到+∞范围内并没有暇点啊为什么非要用x=tant进行转化呢?

Question

x/√(x²+1)在-∞到+∞上的积分为什么不能由奇函数得出为0的结论呢?或者原式=d(√(x²+1)来解呢?
在x/√(x²+1) 的-∞ 到+∞ 范围内并没有暇点啊 为什么非要用x=tant 进行转化呢?

Answer 1

如果想用奇函数在对称区间上的积分为0的话,前提是积分值是个定值才可以,然而对于本题,
因为
∫【0,+∞】x/√(x²+1)dx
=0.5∫ 【0,+∞】(x²+1)^(-1/2) d(x²+1)
= (x²+1)^(1/2) | 【0,+∞】
=+∞.即此时无穷积分是发散的
所以∫【-∞,+∞】x/√(x²+1)dx是发散的!