求所有的整数x使得下面的式子表示一个整数的平方.36x^2+72x+601.

Question

求所有的整数x使得下面的式子表示一个整数的平方.36x^2+72x+601.

Answer 1

这一题里牵扯到平方和整数,我们在分析的时候暂时不考虑z是负数.
36x^2+72x+601=36(x^2+2x+1)+565=36(x+1)^2+565=z^2,z为一个整数,x也是一个整数
那么36(x+1)^2+565=z^2
36(x+1)^2=z^2-565
(x+1)^2=（z^2-565）/36.（1）
这里已经限定了z的平方必须大于等于565（x+1的平方大于等于0）
我们知道20的平方已经是400了,所以容易找出24^2=576,24是z能取到的最小值,
看（1）式,左边是一个平方,右边必须也得是个平方,分母36已经是6的平方,所以
z^2-565必须是一个平方数且必须是36的倍数才可能约掉分母36!而且这里的倍数也得是一个平方数,才能等于左边!
设这个倍数是a^2,a是一个正整数（a=1,2,3,4,5..）
（1）式的右边可以写成
（z^2-565）=(a^2)*36=(6a)^2
z^2=(6a)^2+565,a=1,2,3,4,5.
(6a)^2+565是一个完全平方数!
设y是一个整数满足:(y不等于0)
(6a)^2+565=(6a+y)^2=(36a^2+12ya+y^2)----->12ya+y^2=565,这里要得到整数a,y为奇数
若y=1,得a=47
若y=3,a无整数解
若y=5,a=9
若y=7,a无整数解
若y=9,a无整数解
若y=11,a无整数解
若y=13,a无整数解
若y=15,a无整数解
若y=17,a无整数解
若y=19,a无整数解且a开始小于1,则之后都不可能
所以综上得到可能的a有47和9,对应的z^2有80089----283的平方,3481---59的平方,对应的z是283和59（因为z只有平方在表达式里,所以也可以取负整数,即可能有-283和-59）,对应的(x+1)^2的值有2209-----47的平方和81-----9的平方.
同理这里47和9可以取负数,那么x可能的值有47-1=46,-47-1=-48,9-1=8,-9-1=-10
最终我们得到满足条件的整数x有46,-48,8和-10!