已知球的直径为10cm，求它的内接圆锥体积的最大值，并求出此时圆锥的底面半径和高．

Question

已知球的直径为10cm，求它的内接圆锥体积的最大值，并求出此时圆锥的底面半径和高．

Answer 1

设圆锥的底面半径为r，高为h，则（h-5）²+r²=5²
∴r²=10h-h²（2分）
V_锥=(1)/(3)πr2h=(π)/(3)h(10h−h2)=(π)/(3)(10h2−h3)    （5分）
V′=(π)/(3)(20h−3h2)，令V′=0，
h＝(20)/(3)，（7分）
h∈(0，(20)/(3))，V′(h)＞0；h∈((20)/(3)，10)，V′(h)＜0
V（h）在（0，(20)/(3)）上是增函数，在（(20)/(3)，10）是奇函数，
当h=(20)/(3)时，V（h）最大（9分）
Vmax＝(4000π)/(81)，（11分）
此时h＝(20)/(3)，r＝(10√(2))/(3)（12分）