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求∑(3^n+5^n)x^n/n的收敛域
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求∑(3^n+5^n)x^n/n的收敛域
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答案和解析
an=(3^n+5^n)/n,n次根号(an)=5*【(1+(3/5)^n)^(1/n)】/n^(1/n),极限是5,因此收敛半径是1/5.
在x＝1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】/n>1/n,因此级数不收敛.
在x＝－1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】(－1)^n/n＝(－3/5)^n/n+(－1)^n/n,第一个绝对收敛,第二个用Leibniz判别法知道收敛,因此级数收敛.
故收敛域为[－1/5,1/5)
在x＝1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】/n>1/n,因此级数不收敛.
在x＝－1/5时,级数通项为【(3/5)^n+1】(－1)^n/n＝(－3/5)^n/n+(－1)^n/n,第一个绝对收敛,第二个用Leibniz判别法知道收敛,因此级数收敛.
故收敛域为[－1/5,1/5)
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