如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．（1）求证：△ABD是正三角形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．

Question

如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．

（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）．

Answer 1

（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．（1分）
∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）
∵AB、AD是菱形的两条边，
∴AB=AD．（3分）
∴△ABD是正三角形．（4分）
（2）∵O为菱形对角线的交点，
∴AC=2OC，OD=(1)/(2)BD=3，∠COD=90°．（5分）
在Rt△COD中，(OD)/(OC)=tan∠OCD=tan30°，
∴OC=(OD)/(tan30°)=(3)/((√(3))/(3))=3√(3)．（6分）
∴AC=2OC=6√(3)．
答：AC的长为6√(3)．（7分）