某班排演入场式阵型，设计为菱形．若菱形ABCD的点A到两条平行边线l1、l2的距离分别为4m、8m，边线l1与菱形阵区的最近点D的距离为1m，l2与该菱形阵区的最近点B的距离为2m．（1）如图甲，菱

Question

某班排演入场式阵型，设计为菱形．若菱形ABCD的点A到两条平行边线l₁、l₂的距离分别为4m、8m，边线l₁与菱形阵区的最近点D的距离为1m，l₂与该菱形阵区的最近点B的距离为2m．

（1）如图甲，菱形阵区在点A的右侧，若∠BAD=60°，请据此算出菱形阵区的面积；
（2）如图乙，菱形阵区在点A的两侧，试确定∠BAD的余弦，使菱形阵区的面积最小，并求出最小面积．

Answer 1

（1）如图甲，设AD与l₁所成夹角为α，则AB与l₂所成夹角为60°-α，
由菱形ABCD的边长相等得(3)/(sinα)=(6)/(sin(60°-α))，解得tanα=(√(3))/(5)，
所以，菱形阵区的面积S=((3)/(sinα))2•sin60°=9(1+(1)/(tan2α))•sin60°=42√(3)（m²）．（6分）
（2）如图乙，设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ，θ∈（120°，180°），则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），
由菱形ABCD的边长相等得(3)/(sinα)=(6)/(sin(180°-θ+α))，解得tanα=(sinθ)/(2+cosθ)，
所以，菱形阵区的面积S=((3)/(sinα))2•sinθ=9（1+(1)/(tan2α)）•sinα=9（(5+4cosθ)/(sinθ)），
由S′=9（(5+4cosθ)/(sinθ)）′=-9（(5cosθ+4)/(sin2θ)）=0，得cosθ=-(4)/(5)，（12分）
经检验得，当cosθ=-(4)/(5)时，菱形阵区的面积Smin=27(m2)，
∴菱形阵区的最小面积为27m²．（13分）