如图，在斜三梭柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．

Question

如图，在斜三梭柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC₁B₁

（1）求证：E是AB中点；
（2）若AC₁⊥A₁B，求证：AC₁⊥BC．

Answer 1

证明：（1）连结BC₁，取AB中点E′，
∵侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，
∴O为AC₁的中点，
∵E′是AB的中点，
∴OE′∥BC₁；     
∵OE′⊄平面BCC₁B₁，BC₁⊂平面BCC₁B₁，
∴OE′∥平面BCC₁B₁，
∵OE∥平面BCC₁B₁，
∴E，E′重合，
∴E是AB中点；
（2）∵侧面AA₁C₁C是菱形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AC₁⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A₁，A₁C⊂平面A₁BC，A₁B⊂平面A₁BC，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵BC⊂平面A₁BC，
∴AC₁⊥BC．