已知直线l1、l2，l1∥l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC=60°，AB=4，O是AB的中点，D是CB延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与D′重合．（1）如图1，当点D′落在直线l1上时，

Question

已知直线l₁、l₂，l₁∥l₂，点A是l₁上的点，B、C是l₂上的点，AC⊥BC，∠ABC=60°，AB=4，O是AB的中点，D是CB延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与D′重合．

（1）如图1，当点D′落在直线l₁上时，求DB的长；
（2）延长DO交l₁于点E，直线OD′分别交l₁、l₂于点M、N．
①如图2，当点E在线段AM上时，设AE=x，DN=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；
②若△DON的面积为(3)/(2)√(3)时，求AE的长．

Answer 1

（1）过D′作D′H⊥l₂，如图1所示，可得DH=AC=2√(3)，

∵∠DCO=∠D′CO=60°，
∴∠D′CH=60°，
∴CD=CD′=4，
∵∠DCO=∠ABC=∠D′CO=60°，
∴△OBC为等边三角形，即BO=CO=BC，
∵O为Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴OC=(1)/(2)AB=2，即BC=2，
∴BD=CD-BC=2；
（2）①∵∠DCO=∠D′CO=∠BOC=60°，
∴∠OBD=∠NCD′=120°，
∵∠ODC=∠ODC′，
∴△BOD∽△CND′，
∴(BO)/(CN)=(BD)/(CD′)，即(2)/(2+x+y)=(x)/(x+2)，
则y=(4)/(x)-x（0<x≤2）；
②过O作OP⊥BC，如图3所示，
∴S_△DON=(1)/(2)DN•OP=(3√(3))/(2)，OP=√(3)，
∴DN=3，
当点E在线段AM上时，如图3所示，

可得DN=y=3，
∴(4)/(x)-x=3，
解得：x=1（负值舍去），即AE=1；
当点E在线段AM的延长线上时，如图4所示，

同理可得△BOD∽△CND′，
∴(BO)/(CN)=(BD)/(CD′)，即(2)/(2+AE-3)=(AE)/(AE+2)，
解得：AE=4，
综上，AE的长为1或4．