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如何证明群G的中心和换位子群都是G的特征子群.
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如何证明群G的中心和换位子群都是G的特征子群.
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答案和解析
由于群G的中心Z(G)中的元素与G中任意元素可交换,因此在任意自同构映射下：
gZ(G)g^(-1)=gg^(-1)Z(G)=Z(G)
从而Z(G)是G的特征子群.
对于G的换位子群G'（我习惯叫导群）,在自同构映射下:
对任意的[a,b]=a^(-1)b^(-1)ab∈G',
g[a,b]g^(-1)=[gag^(-1),gbg^(-1)]∈G'
这就说明了G'是G的特征子群
gZ(G)g^(-1)=gg^(-1)Z(G)=Z(G)
从而Z(G)是G的特征子群.
对于G的换位子群G'（我习惯叫导群）,在自同构映射下:
对任意的[a,b]=a^(-1)b^(-1)ab∈G',
g[a,b]g^(-1)=[gag^(-1),gbg^(-1)]∈G'
这就说明了G'是G的特征子群
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