离散：试证明所有无限阶的循环群都相互同构.求救啊.

Question

离散：试证明所有无限阶的循环群都相互同构.求救啊.

Answer 1

设G关于二元运算"·"构成一个无限阶的循环群,单位元记为e.
由循环群的定义,存在a ∈ G,使G中元素均可表示为a^n,其中n为整数.
于是映射φ(n) = a^n是整数集Z到群G的满射.
又易见φ(x+y) = a^(x+y) = a^x·a^y = φ(x)·φ(y),即φ是整数加法群到G的满同态.
假设ker(φ)包含n ≠ 0,即有φ(n) = a^n = e.
由带余除法,对G中任意元素,设其为a^m,存在整数q,r满足m = nq+r,其中0 ≤ r < |n|.
因此a^m = a^(nq+r) = (a^n)^q·a^r = a^r,即a^m与e,a,a^2,...,a^(|n|-1)之一相等.
则G至多有|n|个元素,与G是无限阶群矛盾.
因此ker(φ) = {0},φ是单同态.
于是φ:Z → G是双射,且为群同态,即为同构映射.
任意无限阶循环群都与Z同构,因此都互相同构.