加试题间距为l的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图所示，倾角为θ的导轨处于大小为B1、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间I中，水平导轨上的无磁场区间静

Question

【加试题】间距为l的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图所示，倾角为θ的导轨处于大小为B₁、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间I中，水平导轨上的无磁场区间静止放置一质量为3m的“联动双杆”（由两根长为l的金属杆cd和ef，用长度为L的刚性绝缘杆连接构成），在“联动双杆”右侧存在大小为B₂，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间II，其长度大于L，质量为m、长为l的金属杆ab从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨（无能量损失），杆ab与“联动双杆”发生碰撞，碰后杆ab和cd合在一起形成“联动三杆”，“联动三杆”继续沿水平导轨进入磁场区间II并从中滑出，运动过程中，杆ab、cd和ef与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直，已知杆ab、cd和ef电阻均为R=0.02Ω，m=0.1kg，l=0.5m，L=0.3m，θ=30°，B₁=0.1T，B₂=0.2T，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应，求：

（1）杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小v₀；
（2）“联动三杆”进入磁场区间II前的速度大小v；
（3）“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热Q．

Answer 1

（1）ab杆受到的安培力：F=B₁Il=(B21l2v0)/(R+(R)/(2))，
ab杆匀速运动，由平衡条件得：mgsinθ=(B21l2v0)/(R+(R)/(2))，解得：v₀=6m/s；
（2）ab杆与联动双杆碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+3m）v，解得：v=1.5m/s；
（3）联动三杆进入磁场B₂过程速度的变化量为△v，
由动量定理得：B₂

.

I

l△v=4m△v，

.

I

△t=△q=(B2Ll)/(R+(R)/(2))，解得：△v=0.25m/s，
联动三杆离开磁场过程，速度的变化量大小也为：△v=0.25m/s，
离开磁场B₂时联动三杆的速度：v′=v-2△v=1.5-2×0.25=1m/s，
“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热：Q=(1)/(2)•4mv²-(1)/(2)•4mv′²，
解得：Q=0.25J；
答：（1）杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小v₀为6m/s．
（2）“联动三杆”进入磁场区间II前的速度大小v为1.5m/s．
（3）“联动三杆”滑过磁场区间II产生的焦耳热Q为0.25J．