将圆心角为120°,半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形OPMN,如右图,让矩形的一边在扇形的一条半径OA上,求此矩形面积的最大值

Question

将圆心角为120°,半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形OPMN,如右图,让矩形的一边在扇形的一条
半径OA上,求此矩形面积的最大值

Answer 1

下面分别探讨两种方法：
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1.以扇形一边为边：设该边长X,它和另一边,半径组成直角三角形.另一边长√(R^2-X^2).
S=√(R^2X^2-X^4)=√[-(X^2-R^2/2)^2+R^4/4]
当X=R/√2时,矩形最大面积是R^2/2 =200 cm^2
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2.一边平行于AB时：设圆心到弧上两个顶点的夹角是x,平行于弦的那一边
长是2sin(x/2)R.另一条边长是cos(x/2)R-ctg(π/3)sin(x/2)R
矩形面积：两边相乘=[2sin(x/2)cos(x/2)-2sin^(x/2)/√3]R^2
由cos2x=1-2sin^x 得-sin^x=(cos2x-1)/2
所以：矩形面积=[sinx+(cosx/√3)-1/√3]R^2
求它的最大值需要求sinx+(√3/3)cosx的最大值：
asinx+bcosx的最大值是√(a^2+b^2) 证明如下：
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asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)][a/√(a^2+b^2)sinx+b/√(a^2+b^2)cosx]
由于 sin(x+y)=cosy*sinx+siny*cosx
设a/√(a^2+b^2)=cosy,b/√(a^2+b^2)=siny.
那么asinx+bcosx=[√(a^2+b^2)]sin(x+y),y=arctg(b/a)
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本题中a=1,b=1/√3.
当x+arctg(1/√3)=π/2,就是x=60°时,sin[x+arctg(b/a)]=1.
sinx+(cosx/√3)有最大值√[1+(1/√3)^2] =2/√3
矩形面积是(2/√3-1/√3)R^2 =R^2/√3
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结论：第二种方法更大,面积是 400√3/3 cm^2