如图，钢板材料ABCD的上沿为圆弧AD，其所在圆的圆心为BC的中点O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，现如何用这块钢板材料截一块矩形板（其中两个顶点在AD上，另两个顶点在BC上），使矩形

Question

如图，钢板材料ABCD的上沿为圆弧AD，其所在圆的圆心为BC的中点O，AB、CD都垂直于BC，且AB=CD=a，BC=b，现如何用这块钢板材料截一块矩形板（其中两个顶点在

AD

上，另两个顶点在BC上），使矩形的面积最大？请你设计截取方案，并说明理由．

Answer 1

如图，设∠AOB=θ，∠NOB=α（θ≤α≤(π)/(2)），
其中半径AO=R=√(a2+(1)/(4)b2)，且sin θ=(a)/(R)，cos θ=(b)/(2R)．
矩形EFMN的面积是
S=Rsinα（2Rcosα）=R²sin2α（2θ≤2α＜π），
①当θ≤(π)/(4)，即2θ≤(π)/(2)时，此时2a≤b，S_max=R²=a²+(1)/(4)b²，这时α=(π)/(4)．
②当θ＞(π)/(4)，即2θ＞(π)/(2)时，此时2a＞b，S_max=R²sin 2θ=2R²sin θcos θ=2R²•(a)/(R)•(b)/(2R)=ab．
因此，设计方案如下：
当2a≤b时，取点N使∠NOB=(π)/(4)，再确定点M、E、F，这样矩形EFMN的最大面积为a²+(1)/(4)b²；
当2a＞b时，这时矩形ABCD就是所求的面积最大的矩形，最大面积为ab．