（2014•武侯区三模）如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；（2）求此几何体的体

Question

（2014•武侯区三模）如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE； 
（2）求此几何体的体积．

Answer 1

（1）证明：在菱形ABEF中，因为∠ABE=60°，所以△AEF是等边三角形，
又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF⇒AH⊥AB
因为面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
所以AH⊥面ABCD，所以AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，得到AC＝BC＝2√(2)，
从而AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC，又AH∩AC=A
所以BC⊥面AHC，
又BC⊂面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE…．（6分）
（2）因为V=V_E-ACB+V_F-ADC+V_C-AEF，
S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝4√(3)
所以V＝VE−ACB+VF−ADC+VF−ACE＝(1)/(3)(2√(3)×4+2√(3)×2+2×4√(3))＝(20√(3))/(3)..（12分）