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(2014•黄山三模)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图及直观图如图所示,根据图中所给数据,解答下列问题:(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C、C1)上确定一点E的位置,
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(2014•黄山三模)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三视图及直观图如图所示,根据图中所给数据,解答下列问题:
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-10/02/1538484651-5180.jpg)
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C、C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1;
(Ⅲ)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-10/02/1538484651-5180.jpg)
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C、C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1;
(Ⅲ)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由三视图可知AB⊥侧面BB1C1C,
则AB⊥BC1,
∵BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=
,
在△BC1C中,由余弦定理得BC1=
,故有BC2+BC12=CC12,
∴C1B⊥BC,
∵BC∩AB=B,且AB,BC⊂平面ABC,
∴C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)由EA⊥EB1,AB⊥EB1,AB∩AE=A,
AE,AB⊂平面ABE,从而B1E⊥平面ABE;且BE⊂平面ABE,
故B1E⊥BE,设CE=x,则C1E=2-x,
则BE2=1+x2-x,
∵∠B1C1C=
,∴B1E2=x2-5x+7,
Rt△BEB1中,x2-5x+7+1+x2-x=4,解得x=1或x=2.
故E是CC1的中点时,有EA⊥EB1;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知S△ABC=
BC•AB=
×1×
=
,
由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC,BC1=
,
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=3VA−CBC1=3×
S△CBC1•AB=
×2×1×sin
×
=
则AB⊥BC1,
∵BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=
π |
3 |
在△BC1C中,由余弦定理得BC1=
3 |
∴C1B⊥BC,
∵BC∩AB=B,且AB,BC⊂平面ABC,
∴C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)由EA⊥EB1,AB⊥EB1,AB∩AE=A,
AE,AB⊂平面ABE,从而B1E⊥平面ABE;且BE⊂平面ABE,
故B1E⊥BE,设CE=x,则C1E=2-x,
则BE2=1+x2-x,
∵∠B1C1C=
2π |
3 |
Rt△BEB1中,x2-5x+7+1+x2-x=4,解得x=1或x=2.
故E是CC1的中点时,有EA⊥EB1;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知S△ABC=
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由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC,BC1=
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∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=3VA−CBC1=3×
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π |
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