（2014•烟台三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1；（2）（理）设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B

Question

（2014•烟台三模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁；
（2）（理）设点E是直线B₁C₁上一点，且DE∥平面AA₁B₁B，求平面EBD与平面ABC₁夹角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：由已知得侧面AACC是菱形，D是AC₁的中点，
∵AB=AC=AA₁=BC₁=2，AC₁与A₁C相交于点D，
∴BD⊥AC₁，∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，且BD不包含于平面ABC₁，
平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）（理）设点F是A₁C₁的中点，∵点D是AC₁的中点，∴DF∥平面AA₁B₁B，
又∵DE∥平面AA₁B₁B，∴平面DEF∥平面AA₁B₁B，
又平面DEF∩平面A₁B₁C₁=EF，平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，
∴EF∥A₁B₁，∴点E是B₁C₁的中点．
如图，以D为原点，以DA₁，DA，DB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系．
由已知得AC₁=2，AD=1，BD=A₁D=DC=√(3)，BC=√(6)
∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(√(3)，0，0)，B(0，0，√(3))，C1(0，−1，0)
设平面EBD的一个法向量是

m

＝(x，y，z)，
由

m

⊥

DB

，得√(3)z＝0⇒z＝0，
又

DE

＝(1)/(2)(

DC1

+

DB1

)＝(1)/(2)(

DC1

+

DB

+

AA1

)
=((√(3))/(2)，−1，(√(3))/(2))，
由

m

⊥

DE

⇒(x，y，z)•((√(3))/(2)，−1，(√(3))/(2))＝0
得(√(3))/(2)x−y＝0，
令x=1，得y=(√(3))/(2)，∴

m

＝(1，(√(3))/(2)，0)，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，DA₁⊥AC₁，∴DA₁⊥平面ABC₁
∴平面ABC₁的一个法向量是

DA1

＝(√(3)，0，0)，
∵cos＜

m

，

DA1

＞＝(√(3))/(√(1+(3)/(4))×√(3))＝(2√(7))/(7)，
∴平面EBD与平面ABC₁夹角的余弦值是(2√(7))/(7)．