（2014•盐城三模）若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c的取值范围是．

Question

（2014•盐城三模）若不等式bx+c+9lnx≤x²对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c的取值范围是______．

Answer 1

若不等式bx+c+9lnx≤x²对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，
则c≤x²-bx-9lnx恒成立即可，
设f（x）=x²-bx-9lnx，
则f′（x）=2x-b-(9)/(x)=(2x2−bx−9)/(x)，
设g（x）=2x²-bx-9，如图
∵g（0）=-9＜0，判别式△=b²+72＞0，对称轴x=−(−b)/(2×2)＝(b)/(4)＞0，
所以由g（x）=0得x=(b−√(b2+72))/(4)＜0（舍去）或x=(b+√(b2+72))/(4)，
即当x=(b+√(b2+72))/(4)时f（x）取得极小值，
∵b∈（0，3），
所以当b=3时，极小值点最小为x=(3+√(32+72))/(4)＝(3+9)/(4)＝3，
此时f（3）=3²-3×3-9ln3=-9ln3，
故c＜-9ln3，
故答案为：（-∞，-9ln3）