（2014•齐齐哈尔三模）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=2CE，在线段EO上是否存在点G

Question

（2014•齐齐哈尔三模）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=√(2)CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出(EG)/(EO)的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，
所以OF∥DE．
又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，
所以DE∥平面ACF…．（4分）
（II） 证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE⊂平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：
取EO中点G，连接CG，
在四棱锥E-ABCD中，AB=√(2)CE，CO=(√(2))/(2)AB=CE，
∴CG⊥EO．
由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，
∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，
∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，
∴CG⊥平面BDE
故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．
由G为EO中点，得(EG)/(EO)＝(1)/(2)．…（14分）