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（2011•北京模拟）求满足x=∫x0f（t）dt+∫x0tf（t-x）dt的可微函数f（x）．
题目详情
（2011•北京模拟）求满足x=
f（t）dt+
tf（t-x）dt的可微函数f（x）．
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
▼优质解答
答案和解析
在
tf(t−x)dt中，令u=t-x，则有
tf(t−x)dt=
(u+x)f(u)du=−
uf(u)du−x
f(u)du
∴x＝
f(t)dt−
uf(u)du−x
f(u)du
两边对x求导，整理得
f(x)＝1+
f(u)du
两边对x求导，得f'（x）=-f（-x），
∴f''（x）=f'（-x）=-f（x），
解得：f（x）=C1cosx+C2sinx，
∴f'（x）=-C1sinx+C2cosx
由于f（0）=1，f'（0）=-1，
∴C1=1，C2=-1
∴f（x）=cosx-sinx
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | 0 −x |
| ∫ | −x 0 |
| ∫ | −x 0 |
∴x＝
| ∫ | x 0 |
| ∫ | −x 0 |
| ∫ | −x 0 |
两边对x求导，整理得
f(x)＝1+
| ∫ | −x 0 |
两边对x求导，得f'（x）=-f（-x），
∴f''（x）=f'（-x）=-f（x），
解得：f（x）=C1cosx+C2sinx，
∴f'（x）=-C1sinx+C2cosx
由于f（0）=1，f'（0）=-1，
∴C1=1，C2=-1
∴f（x）=cosx-sinx
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