如图，在任意的△ABC中，分别以AB和AC为腰作等腰△ABE和等腰△ACD，AB=AE，AC=AD，且∠BAE+∠CAD=180°，连接DE，延长AC交DE于F．（1）求证：∠CAB=∠AED+∠ADE；（2）若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，如图2，求

Question

如图，在任意的△ABC中，分别以AB和AC为腰作等腰△ABE和等腰△ACD，AB=AE，AC=AD，且∠BAE+∠CAD=180°，连接DE，延长AC交DE于F．
（1）求证：∠CAB=∠AED+∠ADE；
（2）若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，如图2，求证：BC=2AF；
（3）若在△ABC中，如图3所示作等腰△ABE和等腰△ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图1，延长DA至G点，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
即∠EAG+∠GAB+∠CAD=180°，
∵∠GAB+∠BAC+CAD=180°，
∴∠EAB=∠CAB，
∵∠EAB=∠AED+∠ADE，
∴∠CAB=∠AED+∠ADE，

（2）如图2，过E点作DA延长线的垂线，垂足为H，
由（1）可知，∠EAH=∠BAC，
在△AHE和△ACB中，

∠AHE=∠ACB

∠EAH=∠BAC

AE=AB

，
∴△AHE≌△ACB，
∴EH=BC，AH=AC，
∵AC=AD，
∴AH=AD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴AF∥EF，
∵A为DH中点，
∴AF为△DHE中位线，
∴EH=2AF，
∴BC=2AF，

（3）成立，
如图，延长DA至M点，使AM=DA，连接EM，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∠CAD+∠CAM=180°，
∴∠BAE=∠CAM，
∴∠BAE+∠CAC=∠CAM+∠EAC，
即∠BAC=CAM，
∵AM=AD，AD=AC，
∴AM=AC，
在△BAC和△EAM中，

BA=EA

∠BAC=∠EAM

AC=AM

，
∴△BAC≌△EAM，
∴BC=EM，
∵F、A分别为DE、DM中点，
∴AF为△DEM中位线，
∴EM=2AF，
∴BC=2AF．