一道数论题求6x+15y+20z=1的整数解.并且a,b,c在什么情况下能是ax+by+cz=1有整数解?如果有的话,有什么一般方法可以求得?

Question

一道数论题
求6x+15y+20z=1的整数解.
并且a,b,c在什么情况下能是ax+by+cz=1有整数解?
如果有的话,有什么一般方法可以求得?

Answer 1

6x+15y+20z=1 => 6x+5(3y+4z)=1
设3y+4z=w,那就是6x+5w=1.很容易找到一组解,x=1,w=-1.
假设另一组解为x',w',6x+5w=6*1+5*(-1)=>6(x-1)=5(-1-w),等式两边必然是30的倍数,假设为30k,k=0,+/-1,+/-2.,所以x=5k+1,w=-1-6k.
剩下的就是3y+4z=-1-6k,类似前面的步骤,如果y1,z1和y2,z2都是整数解,那么3y1+4z1=3y2+4z2=>3(y1-y2)=4(z2-z1),这个肯定是个12的倍数,所以有3(y1-y2)=4(z2-z1)=12l,y1=4l+y2,z1=z2-3l.
不难看出3y+4z=-1-6k有一组特解y=1-2k,z=-1,所以通解的公式就为:
1-2k+4l,-1-3l,
所以原方程的通解表达式为x=5k+1,y=1-2k+4l,z=-1-3l,其中k,l独立地取遍所有整数.
一般情况比较难,暂时没想到什么招.但是对于a,b,c都为有理数的情况,还是容易搞定的.
首先考虑简单一点的情况ax+by=p,a,b,p都为整数,下面证明,这个方程有整数解的充分必要条件是a,b的最大公约数也是p的约数.
首先证明必要性,设a,b最大公约数为k,若方程有整数解,显然ax+by能被k整除,所以p也能必须被k整除.
再证充分性,也就是只要a,b最大公约数也为p的约数,那么ax+by=p就有整数解.假设a,b最大公约数为k,p=nk,a=a_k*k,b=b_k*k,a_k与b_k互质.那么原方程就可以化为a_k*x+b_k*y=n,这个方程一定有整数解.首先,如果n>b_k,那么把n换成m,其中m是n除以b_k的约数（显然m