求y'-y=sinx的通解

Question

求y'-y=sinx的通解

Answer 1

对应的齐次方程为y'-y=0；采用分离变量法得该方程的通解为y=ce^x①,c为常数；下面采用变易常数法求原方程的解；将c看作x的函数,①式两端对x求导的y'=ce^x＋c'e^x,代入原方程得c'e^x=sinx,即c'=e^(-x)sinx,所以c=∫e^(-x)sinxdx＋c1,c1为任意常数；令I=∫e^(-x)sinxdx,则c=I＋c1②；I=-∫sinxde^(-x)=-e^(-x)sinx＋∫e^(-x)cosxdx=-e^(-x)sinx-∫cosxde^(-x)=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-∫e^(-x)sinxdx,所以I=-e^(-x)(sinx＋cosx)-I,所以I=-e^(-x)(sinx＋cosx)/2,将此式代入②式得c=-e^(-x)(sinx＋cosx)/2＋c1,将此式代入①得y=c1e^x-(sinx＋cosx)/2③,③式即为原方程的通解.