急欧几里得算法是什么原理啊?我知道怎么算的,不过谁来告诉我为什么可以这样算,那样记着公式没用我想弄清为什么!我要问为什么这么推可以推出最大公约数!

Question

急 欧几里得算法是什么原理啊?
我知道怎么算的,不过谁来告诉我为什么可以这样算,
那样记着公式没用
我想弄清为什么!
我要问为什么这么推可以推出最大公约数!

Answer 1

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
看看这样说能明白不/